Izvod funkcije

(Matematika)

Lajbnic i Njutn radili su gotovo u istom vremenskom periodu, nezavisno jedan od drugog i obojica dosli do pojma izvoda. Pojam izvoda nastao je krajem XVII veka u vezi sa izučavanjem neravnomernih kretanja. Preciznije, pomoću izvoda je bilo moguce uvesti pojam trenutne brzine pravolinijskog kretanja. Uopšte, pomocu izvoda moze se predstaviti brzina promene veličina koje se neravnomerno menjaju (temperature tela,električne struje...). Pojam izvoda pojavio se i u vezi sa nalaženjem tangente krive u datoj tački.U tom smislu, zauzima značajno mesto u matematici i njenim primenama.

Priraštaj nezavisno promenljive i priraštaj funkcije

Neka je y=ƒ(x) kriva u ravni xOy, M₀(x₀,y₀) proizvoljna fiksirana tačka na toj krivoj i M(x,y) još jedna tačka te krive,različita od M₀. Priraštaj nezavisno promenljive je broj

Δx=x-x₀,

a priraštaj funkcije ƒ u tački x₀ je broj

Δƒ(x₀)=ƒ(x)-ƒ(x₀)=ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀).

Prava MM₀ je sečica date krive. Nagib te krive odreðen je njenim koeficijentom pravca, koji je jednak:

Koficijent pravca sečice jednak je količniku priraštaja funkcije i priraštaja nezavisno promenljive.

Prvi izvod

Prvi izvod ƒ'(x) funkcije ƒ u tački x₀ je konačna granična vrednost:

Izvod funkcije ƒ u tački x₀ je broj koji je jednak koeficijentu pravca tangente te funkcije u tački M₀(x₀,y₀).

Tablica izvoda elementarnih funkcija

Funkcija	Izvod	Važi za
-konstanta	0
		za

Osnovne teoreme o izvodu

Ako su ƒ i g diferencijabilne funkcije u tački x i c-konstanta, tada vazi:

Izvod zbira i razlike

Izvod proizvoda i količnika

Izvod slozene funkcije

Ako je funkcija y=ƒ(x) diferencijabilna u tački x, a funkcija z=g(y) diferencijabilna u tački y=ƒ(x),tada je slozena funkcija z=g(ƒ(x)) diferencijabilna u tački x i vazi:

Drugi izvod i izvodi višeg reda

Tangente i normale krive y=ƒ(x)

Jednačina tangente

Jednačina tangente krive l, koja je grafik funkcije y=ƒ(x) u tački (x₀,y₀) ∈ l je:

Jednačina normale

Jednačina normale krive l, koja je grafik funkcije y=ƒ(x) u tački (x₀,y₀) ∈ l je:

Primena izvoda pri ispitivanju funkcija

Monotonost funkcije

Neka je funkcija ƒ diferencijabilna u intervalu (a,b) (tj. neka ima izvod u svakoj tački tog intervala). Ako je ƒ´(x) > 0, za svako x ∈ (a,b), tada je funkcija ƒ rastuca u tom intervalu. Ako je ƒ´(x) < 0, za svako x ∈ (a,b), onda je funkcija ƒ opadajuca u tom intervalu.

Ekstemne vrednosti funkcije

Neophodan uslov za postojanje lokalnog ekstemuma: Izvod funkcije ƒ u tački c lokalnog ekstemuma, u kojoj je funkcija ƒ diferencijabilna jedank je nuli.

Dovoljan uslov za postojanje lokalnog ekstremuma:

1. Neka funkcija ƒ ima u tački x₀ prvi izvod koji je jednak nuli i neka u toj tački ima drugi izvod ƒ″(x₀). Tada, ako je ƒ″(x₀) < 0 (ƒ″(x₀) > 0), funkcija ƒ ima u x₀ tačku strogog lokalnog maksimuma (minimuma).
2. Neka je ƒ(x) neprekidna funkcija, diferencijabilna u nekoj okolini tačke x₀, osim, možda, u x₀. Ako ƒ´(x₀) menja znak kada x prolazi kroz x₀, tada je x₀ tačka strogog lokalnog ekstremuma. Ako je ƒ´(x) < 0 za x < x₀ i ƒ″ > 0 za x > x₀, tada je x₀ tačka lokalnog minimuma, a ako je ƒ´ > 0 za x < x₀, a ƒ″(x) < 0 za x > x₀, tada je x₀ tačka lokalnog maksimuma.

Konveksnost i konkavnost

Neka funkcija ƒ(x) : (a,b)→ R ima u svakoj tački x ∈ (a,b) drugi izvod. Funkcija ƒ je konveksna na (a,b) ako i samo ako je ƒ″ > 0 za sve x ∈ (a,b). Funkcija ƒ je konkavna na (a,b) ako i samo ako je ƒ″ < 0 za sve x ∈ (a,b).

Prevojne tačke

Neka je funkcija ƒ diferencijabilna u nekoj okolini tačke x₀ i ima drugi izvod u toj okolini, osim, možda, u tački x₀. Ako ƒ″(x) menja znak pri prolazu argumenta kroz tačku x₀, onda je (x₀,ƒ(x₀)) prevojna tačka krive y=ƒ(x).

Lopitalova teorema

Teorema 1: Neka su funkcije ƒ(x) i g(x) definisane u intervalu (a,b], , u intervalu (a,b] postoje konačni izvodi ƒ´(x) i g´(x), pri čemu je g´(x) ≠ 0 i, najzad, postoji(konačan ili ne) limes i . Tada je .

Teorema 2: Neka su funkcije ƒ(x) i g(x) definisane u intervalu (a,b], , u intervalu (a,b] postoje konačni izvodi ƒ´(x) i g´(x), pri čemu je g´(x) ≠ 0 i, najzad, postoji(konačan ili ne) limes i . Tada je .

Teoreme 1 i 2 važe i kada je a= +∞ ili a= -∞.